Ali Tahzibi.

Um projeto para impulsionar pensamento matemático e algorítmico nas escolas públicas de São CarlosA Matemática é uma ciência fundamental para o desenvolvimento de muitas outras áreas do conhecimento e para a resolução de problemas práticos no cotidiano. No entanto, ela é frequentemente vista como uma disciplina difícil e distante para muitas pessoas, incluindo estudantes de ensino médio e profissionais de outras áreas. Além disso, há uma desigualdade no acesso à educação de qualidade, o que dificulta ainda mais o desenvolvimento de habilidades matemáticas entre jovens. É importante frisar o óbvio que apenas a disponibilidade de materiais na internet não é solução para este problema.

Neste projeto vamos estudar teoria ergódica de sistemas de Anosov discretizados. Estes são modelos de sistemas parcialmente hiperbólicos com todas as folhas centrais fixas.

Projeto temático da Fapesp.


Resumo em Português	Em termos gerais, o objetivo de pesquisa na área de sistemas dinâmicos e Teoria ergódica é descrever o comportamento ao longo prazo de um sistema com uma lei de evolução. Existem grandes interações entre área de sistemas dinâmicos, outras áreas em matemática como probabilidade, geometria e teoria dos números e física. Um dos objetivos na teoria ergódica suave de sistemas dinâmicos é a compreender a semelhança entre evolução de um observável pela ação de um grupo (em particular iterações de uma transformação inversível) e comportamentos assintóticos de variáveis aleatórios independentes. Grandes avanços na teoria foram obtidos nas décadas 60, 70 e a maioria dos resultados foi obtido para sistemas uniformemente hiperbólicos (principalmente fundada pelo S. Smale, sem esquecer de Andronov e Pontryagin e escola de Moscow). Bowen, Ruelle e Sinai realizaram uma conexão entre mecánica estatistica e sistemas dinâmicos hiperbólicos com construção de medidas físicas para estes sistemas. Nas últimas décadas formas mais fracas de hiperbolicidade foram introduzidas (Principalmente pelo Pugh, Pesin, Shub e Mañé). Sistemas dinâmicos parcialmente hiperbólicos, decomposição dominada e sistemas não-uniformemente hiperbólicos (teoria de Pesin) são as principais classes de sistemas com ricas propriedades caóticas. Na teoria de sistemas dinâmicos uni-dimensionais inspirados pelos resultados em mecânica estatística, Feigenbaum, Coullet e Tresser sugeriram ideias de teoria de renormalização. Grandes avanços foram feitos por Sullivan e Lyubich. É interessante observar que a dinâmica hiperbólica e ferradura (de Smale) aparecem no estudo de operador de renormalização pelo Lyubich também. As ideias com orígem na teoria ergódica de sistemas dinâmicos foram utilizadas para resolver problemas de teoria dos números e grupos de Lie também. Estes problemas aparecem quando consideramos ações de grupos de Lie nos espaços homogêneos. Métodos ergódicos foram utilizados para estudar fluxos geodésicos e horocíclicos no fibrado unitário de superfícies com curvatura negativa e a demonstração de Margulis para conjectura de Oppenheim é fundamentalmente baseada em teoria ergódica e sistemas dinâmicos. O projeto é dividido em seguintes sub-projetos com aspectos algebrico e probabilístico. Resultados esperados deverão ter impacto positivo no desenvolvimento da área de sistemas dinâmicos: A. Propriedades ergódicas de sistemas dinâmicos preservando alguma probabilidade "natural": 1. Estados de equilíbrio (em particular medidas de máxima entropia, medidas de Margulis) 2. Estabilidade Ergódica para difeomorfismos conservativos 3. Estados de equilíbrios para ações de grupos 4. Transformações expansoras por pedaços de baixa regularidade B. Comparação de sistemas dinâmicos clássicos parcialmente hiperbólicos e passeios aleatórios: Princípio de invariança (introduzido por Avila-Viana generalizando trabalhos de Furstenberg, Ledrappier e outros) C. Teoria de renormalização e Universalidade em sistemas dinâmicos uni-dimensionais D. Deformações de sistemas dinâmicos uni-dimensionais E. Sistemas dinâmicos definidos pela ações de grupos: Sistemas e sub-sistemas de Anosov e suas representações em SL(N,R)

Projeto Auxílio individual-Fapesp

Este é um projeto temático da Fapesp com coordenação de J. Sotomayor.
Este projeto visa estudar a teoria dos sistemas dinamicos por meio de várias linhas de 
pesquisa. Estas envolvem: 
- Perturbações de sistemas dinâmicos: problemas do tipo Closing Lemma, estabilidade ergódica 
e estocástica, bifurcações em famílias de sistemas dinâmicos contínuos ou discretos, diferen- 
ciabilidade de medidas SRB com respeito ao parâmetro, estabilidade do espectro de ?adding 
machines?estocásticas. 
- Propriedades ergódicas e geométricas de sistemas dinâmicos: comportamento assintótico de 
campos do plano com apenas uma singularidade, existência e unicidade de medidas SRB, 
dimensão fractal de conjuntos invariantes. 
- Estudo de sistemas dinâmicos de origem algébrica, geométrica e quasiclássica: Fractais 
de Rauzy, equações diferenciais provindas das linhas de curvatura e assintóticas de uma 
superfície, sistemas dinâmicos semiclássicos provindos da propagação não liouviliana das 
funções de Wigner semiclássicas para estados puros.

Neste projeto em colaboracão com Federico R. Hertz, Jana R. Hertz e R. Ures estamos obtendo resultados positivos para responder conjectura de Pugh-Shub sobre abundância de ergodicidade entre sistemas parcialmente hiperbólicos. Além disso estamos verificando condições topológicas para provar unicidade de medidas SRB no caso de sistemas dissipativos. Este projeto envolve vários tópicos como pontos de densidade de Lebesgue, argumentos de acessibilidade, remover expoentes nulos, decomposição dominada e blenders.

Neste projeto de pesquisa estudaremos o probelamde estabilidade ergódica de sistemas dinâmicos que preservam a medida de Lebesgue. Um dos objetivos é tentar achar novos métodos para provar ergodicidade de um sistema conservativo. Uma conjectura de Pugh-Shub sugere que a ergodicidade é típica entre sistemas parcialmente hiperbólicos. Quando um difeomorfismos não preserva medida de Lebesgue estaremos interessados as medidas SRBs. Nesta direção uma conjectura de M. Viana sugere que sistemas com expoentes de Lyapunov não-nulos num conjunto de medida de Lebesgue total admite medida física. Tentaremos demonstrar essa conjectura em alguns casos, pelos métodos de perturbações estocásticas. Finalmente, estaremos interessados a estudo de teoria ergódica de ações de Rk nas variedades compactas.