Walter Alberto de Siqueira Pedra.

(continuação do projeto correspondente iniciado na Universidade de Mainz)

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Neste projeto serão analisados sistemas formados por dois elétrons e um bóson em rede cristalina. A interação entre elétrons e bósons deve ser o mais geral possível, num primeiro momento. Alguns físicos teóricos defendem a ideia de que a supercondutividade com alta temperatura de transição é relacionada à interação entre elétrons e bipolorons, que são bósons compostos por um par eletrônico ligado por intermédio de um fônon ou um mágnon. O intuito deste projeto é analisar correlações eletrônicas nesse tipo de modelo e identificar interações particulares que conduzam à correlações eletrônicas do tipo ?d-wave?. Esse tipo de correlação é uma característica típica de supercondutores com alta temperatura de transição, não encontrada em supercondutores ordinários.

Em projetos anteriores estudaram-se certas classes de sistemas quânticos de muitos corpos com interação de longo alcance. Entre outras coisas, demonstrou-se que estados de equilíbrio de sistemas desta classe podem ser representados como combinação convexa de estados de equilíbrio de modelos efetivos com interação de curto alcance. Na demonstração de tal fato, usou-se de maneira fundamental invariâncias espaciais dos sistemas considerados, como, por exemplo, periodicidade e invariância por permutação. Neste projeto deverão ser analisados sistemas com interação de longo alcance que possuam o mínimo possível de simetrias espaciais. Resultados relativos à representação de estados de equilíbrio, como o mencionado acima, deverão ser generalizados para o caso não-simétrico. Apresentamos um primeiro resultado neste sentido num artigo, onde certos modelos com inomogeneidades espaciais ditas ?macroscópicas? são analisados. Como aplicação deste último, mostramos que o efeito Meissner pode ser derivado como consequência da estabilidade termodinâmica de estados de certos modelos com interação de longo alcance e campo magnético autogerado (que destrói a invariância por translação). Portanto, acreditamos que esse estudo ajudaria a esclarecer o papel das simetrias espaciais no comportamento termodinâmico de modelos com interação de longo alcance.

Consideramos um gás ideal de elétrons em um cristal com potencial químico aleatório sujeito à ação de um campo elétrico ?E? dependente do tempo. Mostramos que existe uma forma quadrática Σ tal que a produção de entropia é dada, com probabilidade 1, por Σ(E). Devido a um princípio de positividade da produção de entropia, esta forma quadrática é positiva. Pelo teorema de Bochner-Schwarz o ?kernel? de Σ é, portanto, a transformada de Fourier de uma medida positiva, que pode ser interpretada fisicamente como ?medida de condutividade?. Tal interpretação é devida à lei de Ohm, a qual implica que a potência elétrica é proporcional ao quadrado do campo elétrico aplicado a um condutor. Foi também possível provar que tal medida é, em geral, não nula. Tal fato corresponde fisicamente à existência de resistência Ôhmica, ao menos para campos alternados, em presença de desordem na rede cristalina. Este trabalho está perto de ser concluído e se inspira num artigo de Klein, Lenoble e Müller, onde o conceito de medida de condutividade (?conductivity measure?) foi proposto pela primeira vez. Observe-se, porém, que nossa abordagem baseia-se em um princípio termodinâmico e difere da deles. 
Como continuação natural do trabalho descrito acima, pretendemos analisar as propriedades da medida de condutividade em sistemas de férmions em cristais com potencial químico homogêneo, mas levando em consideração uma interação fraca, não nula, entre as partículas. É importante notar aqui que a medida de condutividade definida acima é nula no caso de férmions ideais (ou seja, sem interação) com potencial químico homogêneo. Este tipo de sistema corresponde aos condutores perfeitos, que conduzem corrente elétrica sem produzir calor. O objetivo da segunda fase é, portanto, estudar, diretamente a partir de princípios microscópicos quânticos, a possibilidade - ou não - do aparecimento de uma resistividade Ôhmica devido à interação entre elétrons.

Em um trabalho conjunto com J.-B. Bru e M. Westrich investigamos a dinâmica de íons oticamente ativos (impurezas) em cristais. Em tais íons pode ocorrer a chamada ?inversão de população? através da influência de luz monocromática. Tal fenômeno permite o uso de cristais dopados com impurezas oticamente ativas na construção de dispositivos Laser. Um de nossos objetivos foi a derivação das equações fenomenológicas usuais usadas em física teórica e engenharia para descrever a inversão de população, partindo das equações de Schrödinger para o sistema cristal-impureza. Entre outras coisas, demonstramos ?relações de Einstein generalizadas? que descrevem a relação entre as taxas de transição estimuladas por luz e as taxas de transição espontâneas entre níveis energéticos do íon. 
Em seguida consideraremos um sistema impureza-cristal acoplado a um campo (quântico) de fótons. O objetivo é demonstrar a amplificação de luz através de emissão estimulada em um modelo simples, mas (em contraste à abordagem usual que é de caráter fenomenológico) puramente quântico. Por um lado, a grande maioria dos dispositivos Laser utilizados na prática são objetos macroscópicos e um modelo que descreve uma única impureza oticamente ativa é sem dúvida, neste caso, uma idealização extrema. Porém, recentemente têm sido construídos e estudados dispositivos Laser de um átomo. A luz emitida por tais dispositivos apresenta características não usuais1 e as equações fenomenológicas que descrevem Lasers macroscópicos não se aplicam. A compreensão física de Lasers de um átomo é, portanto, um problema atual de ótica quântica. Por esse motivo e, por outros, achamos que o estudo do modelo aqui proposto seja interessante.

Expansões em clusters (?cluster expansions?) e expansões em árvores (?tree expansions?) de Brydges e Kennedy são exemplos de métodos analíticos utilizados em teoria construtiva de campos. Tais métodos foram desenvolvidos com o intuito, entre outros, de analisar funções de correlação de sistemas de muitos corpos quânticos não exatamente integráveis. A aplicação dos mesmos é relativamente flexível, caso as interações entre partículas no sistema considerado tenha decaimento espacial suficientemente rápido, ou seja, caso as interações sejam de curto alcance. O desenvolvimento de métodos construtivos que também sejam aplicáveis a sistemas com interações de longo alcance, como interações do tipo ?mean-field? por exemplo, é visto por certos expecialistas como um problema técnico importante a ser resolvido. 
Os resultados anteriores nos permitem representar funções de correlação de certos modelos com interação de longo alcance como combinações convexas de funções de correlação de modelos efetivos com interação de curto alcance. Pretendemos, portanto, utilizar esse fato para contornar o problema mencionado acima da aplicação de métodos construtivos a modelos com interação de longo alcance.

A aproximação de Bogoliubov corresponde a se substituir termos do tipo ?mean-field?, presentes em certos Hamiltonianos para sistemas de muitos corpos, por constantes adequadas. Esse tipo de aproximação é importante em física teórica, por exemplo no âmbito da teoria de supercondutores e de superfluídos.
Ginibre, em 1968, foi o primeiro a demonstrar, por meios matematicamente rigorosos e para um modelo de bósons em interação, que a aproximação de Bogoliubov reproduz de maneira exata a pressão no limite termodinâmico. Ele menciona neste trabalho que a questão sobre a exatidão da aproximação de Bogoliubov no que diz respeito a estados de equilíbrio, e não só à pressão, no limite termodinâmico é de grande importância. No fim dos anos 80, Bogolioubov Jr. e outros generalizam o resultado de Ginibre, mostrando a exatidão da aproximação de Bogoliubov, no que diz respeito à pressão, para uma grande classe de modelos de muitos corpos em interação, não necessariamente bosônicos. 
Em um trabalho conjunto com J.-B. Bru foi definida e analisada uma classe de modelos fermiônicos em rede, cujos Hamiltonianos podem conter até mesmo um contínuo de termos do tipo ?mean-field?. Demonstramos que também nesta classe a aproximação de Bogoliubov reproduz a pressão de maneira exata no limite termodinâmico. Os estados de equilíbrio (ou seja, estados que minimizam a densidade de energia livre do sistema no limite termodinâmico) correspondentes foram analisados e os seguintes resultados obtidos: a) Para todos os modelos na classe considerada existem estados que são, ao mesmo tempo, estados de equilíbrio do modelo considerado e de uma de suas aproximações de Bogoliubov. b) Porém, de modo geral, nem todo estado de equilíbrio de uma aproximação de Bogoliubov é um estado de equilíbrio do modelo considerado. c) Todo estado de equilíbrio de um modelo arbitrário na classe considerada é uma combinação convexa (em geral infinita) de estados de equilíbrio de diferentes aproximações de Bogoliubov.

Um sistema quântico aberto é, a grosso modo, um sistema quântico no qual um ou mais subsistemas infinitos interagem com um mesmo sistema finito. Característico para tal situação é o fato de que a dinâmica efetiva do subsistema finito, mesmo no caso de uma interação extremamente fraca, mas não nula, com os subsistemas infinitos, é, em geral, não-unitária. 
Sistemas deste tipo são relevantes para a computação quântica. Por exemplo, eles servem como modelo teórico para registros quânticos com perda de informação causada pela interação do registro com seu ambiente exterior. Em um trabalho conjunto com V. Bach, M. Merkli e I.M. Sigal estão sendo analisados métodos de controle de decoerência em registros quânticos através de perturbações periódicas no tempo (?bang-bang? control). Tal procedimento reduz a perda de informação quântica em tais registros.
A análise matemática de tais sistemas dinâmicos lineares não autônomos é efetuada através da análise espectral do gerador do semigrupo de evolução (evolution semigroup), ou seja, do operador de Howland correspondente. A localização de ressonâncias de tais operadores dá acesso à taxa de decoerência do sistema controlado por perturbações periódicas. Com tal propósito utilizamos técnicas de deformação espectral de operadores fechados.

Alguns resultados da teoria de probabilidades clássica podem ser generalizados no âmbito da teoria de probabilidades não-comutativa, associada à mecânica quântica. Um exemplo, útil para nós, de tal fato é o teorema de de Finetti, que afirma que toda medida de probabilidade invariante por permutação é necessariamente uma combinação convexa de medidas produto. Størmer, considerando estados invariantes por permutação de certas álgebras C* não-cumutativas, demonstrou em 1969 que tal propriedade é válida em um quadro bem mais geral.
É fato conhecido que o comportamento, dinâmico e estático, de certos sistemas quânticos de muitos corpos, cujo Hamiltoniano possui termos do tipo ?mean-field?, é corretamente descrito por um sistema efetivo de um corpo, que é, em geral, não linear. Tal propriedade foi demonstrada primeiramente para certos modelos específicos e de modo ?puramente analítico?. Posteriormente, mostrou-se que a mesma pode dever-se à estrutura geral de estados invariantes por permutação: Segundo uma versão não-comutativa do teorema de de Finetti mencionado acima, estados invariantes por permutação puros são sempre estados-produto (de um mesmo estado de uma partícula). Por tal motivo, sob certas circunstâncias, as propriedades termodinâmicas de um sistema de infinitas partículas podem ser relacionadas a certos sistemas efetivos de uma partícula que descrevem os estados de equilíbrio puros.
O objetivo do presente projeto é, portanto, usar esse quadro formal com o intuito de analisar os aspectos termodinâmicos de certos modelos de muitos corpos de interesse atual, identificando os sistemas, de um corpo, efetivos correspondentes e descrevendo, por meio destes, a estrutura dos estados de equilíbrio de tais modelos.

O objetivo deste projeto é a análise da equação de Schrödinger para um número finito N de partículas quânticas (com ou sem estatística) em interação em rede cúbica. Mais precisamente, pretendemos estudar a formação e o comportamento dinâmico efetivo de objetos ou estruturas compostas estáveis, formadas por 1<M<N das N partículas iniciais. Resultados deste tipo são relevantes para a Física, pois recentemente tais estruturas foram observadas experimentalmente em redes óticas e possuem propriedades não usuais, sem correspondência com resultados conhecidos sobre soluções de equações de Schrödinger no contínuo. Por exemplo, mesmo no caso de interações puramente repulsivas, observou-se a formação de pares de partículas. &#10;O operador de Schrödinger para N partículas em rede é unitariamente equivalente a uma integral direta de operadores de Schrödinger para N-1 partículas. No caso de partículas em uma rede e ao contrário do caso contínuo, os novos operadores para N-1 partículas possuem relações de dispersão que dependem de modo não trivial do momento total das N partículas e são diferentes da relação de dispersão da partícula livre (N=1). Sendo assim, para poder tratar-se o caso N>1 é necessária a análise do caso de uma única partícula (N=1) com relação de dispersão suficientemente geral. Esta fase do projeto já foi encerrada.&#10;Nela também foram obtidos resultados que são de interesse geral para a teoria de operadores de Schrödinger: Entre outras coisas mostramos que a assintótica Weyl para o espectro discreto, em oposição ao caso contínuo, é em geral violada. Algumas condições suficientes a serem verificadas pelo potencial para que tal assintótica seja válida também foram demonstradas. &#10;Pretendemos demostrar que a equação de Schrödinger para N>1 partículas em interação em rede possui soluções que descrevem estruturas dinamicamente estáveis compostas de 1<M<N partículas. Em seguida, deverá ser analisada a dinâmica efetiva de tais estruturas.