Márcia Cristina Anderson Braz Federson.

Este projeto tem como objetivo desenvolver uma teoria construtiva de integração nos espaços de Kuelbs-Steadman $KS^p$ sobre o espaço $\mathbb R^\infty$, estendendo os avanços recentes de T. Gill e T. Myers sobre medidas de Lebesgue em espaços de Banach separáveis.

Nosso objetivo principal com este Projeto é darmos continuidade à nossa pesquisa cientíica em teoria de Integração Não Absoluta e suas aplicações, particularmente na teoria das EDOs Generalizadas e suas aplicações a outros tipos de equações diferenciais e integrais e à Física, entre outras ciências.

Continuação do desenvolvimento da teoria das EDOs Generalizadas, baseada na integral de Kurzweil, e suas aplicações a outros tipos de equações diferenciais e integrais e à Física. Descrever e investigar a forma integral de equações diferenciais estocásticas com integrandos em espaços de Kuelbs-Steadman.

Vamos considerar e desenvolver a teoria de equações diferenciais estocásticas (escrevermos EDEs) em suas formas integrais em que as integrais envolvidas sejam não absolutas e investigar propriedades qualitativas e aplicações destas equações neste contexto mais geral. Mais especificamente, vamos considerar a integral de Henstock e a integral de Kurzweil-Cauchy para tratar a forma integral de EDEs e, assim como as equações diferenciais ordinárias generalizadas (escrevemos EDOs generalizadas como tratada por J. Kurzweil) têm se mostrado um contexto adequado para o tratamento de equações determinísticas que envolvem retardos, impulsos e muitas oscilações, pretendemos construir a teoria das EDEs via integração não absoluta de modo que um ambiente similar seja propício para o tratamento de retardos, impulsos e muitas oscilações, agora para o caso randômico.

Do ponto de vista da Matemática, o Projeto se insere no estudo qualitativo de soluções de vários tipos de Equações Diferenciais e Equações Integrais via transferência das propriedades de Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas e/ou via aplicações da integral de Kurzweil-Henstock diretamente nas funções envolvidas.

Do ponto de vista das aplicações, o Projeto contribui especialmente para o desenvolvimento setores das Ciências Químicas e Farmacêuticas (farmacocinética, por exemplo), das Engenharias (circuitos elétricos, por exemplo) e da Física (mecânica quântica, por exemplo), por conseguir lidar bem com modelos que envolvem muitos saltos (descontinuidades de primeira espécie) e funções de variação ilimitada.

O projeto se insere no estudo qualitativo de soluções de vários tipos de Equações Diferenciais e Equações Integrais via transferência das propriedades de Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas e/ou via aplicações da integral de Kurzweil-Henstock diretamente nas funções envolvidas.

Desenvolvimento da teoria de bifurcação para Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

O objetivo principal deste projeto é dar continuidade à
nossa pesquisa científica na teoria das Equações Diferenciais Ordinárias
Generalizadas (EDOs generalizadas) e suas aplicações a outras
equações diferenciais.

A teoria de dependência contínua das soluções com respeito aos dados iniciais para equações dinâmicas em escalas temporais está bem desenvolvida. Existem vários artigos sobre este assunto. Entretanto, a noção de dependência contínua de soluções com respeito a escalas temporais distintas não tem sido muito investigada. Na literatura, encontra-se bem poucos artigos nesta direção. Os resultados existentes consideram duas equações dinâmicas com escalas temporais A e B e, sob certas condições, se A e B estiverem próximas, no sentido da métrica de Hausdorff, então uma solução x_A da equação dinâmica em A estará próxima de uma solução da equação dinâmica em B - o que significa que as soluções das equações dinâmicas dependem continuamente das escalas temporais. Entretanto, os artigos que dizem respeito a este tipo de resultados sobre dependência contínua estão restritos ao caso de equações dinâmicas em escalas temporais no sentido clássico. O objetivo deste projeto é estender tais resultados para equações dinâmicas funcionais em escalas temporais com impulsos.

O objetivo principal deste projeto é dar continuidade à nossa pesquisa científica em teoria de integração de Kurzweil-Henstock, em teoria das equações diferenciais ordinárias generalizadas e em aplicações destas teorias ao estudo de equações diferenciais funcionais com retardamento, onde incluiremos também as equações que envolvem impulsos e equações diferenciais-diferença. Também é nosso objetivo investigar propriedades das equações diferenciais em "time scales" à luz da teoria das equações diferenciais ordinárias generalizadas. Além do que mencionamos acima, vamos trabalhar no desenvolvimento da teoria geral de integração não absoluta, incluindo-se aí, o estudo de extensões de integrais e caracterização de integrais entre a integral de Lebesgue e a integral de Kurzweil-Henstock.

Paralelamente ao estudo das EDFRs, estamos interessados nos efeitos de condições de impulso sobre a dinâmica de diversos modelos. Os impulsos representam variações do estado em lapsos de tempo tão pequenos que podem ser consideradas instantâneas. Estas
variações correspondem a descontinuidades de primeira espécie das soluções ou de suas derivadas. Problemas que envolvem impulsos guardam grande semelhança com problemas de controle. Na investigação de propriedades de soluções de EDFRs com ação impulsiva, as técnicas clássicas aplicadas para equações sem impulsos devem ser adaptadas a fim de levar-se em consideração os efeitos impulsivos.

Este Projeto de Pesquisa Científica enfoca, de forma integrada, a análise matemática, modelagem e aplicações de diversos problemas do mundo real que envolvem equações diferenciais funcionais. Ele possui uma característica interdisciplinar e direciona-se para o
desenvolvimento científico-tecnológico do País.

Do ponto de vista da Matemática, o Projeto se insere no estudo qualitativo das equações diferenciais funcionais, com retardamento e/ou impulsos. A análise matemática de tais equações emprega técnicas da teoria de semi-grupos de operadores, teoria do grau
topológico e teoria de pontos fixos.

Do ponto de vista das aplicações, o Projeto contribui especialmente para o desenvolvimento de alguns setores das ciências biológicas e agrárias, em seus aspectos do desenvolvimento sustentável.

O objetivo deste projeto é dar continuidade à nossa pesquisa científica que, atualmente, diz respeito à investigação de problemas envolvendo a dinâmica de sistemas com retardos ou impulsos. Pretendemos investigar a dinâmica definida por Equações Diferenciais Funcionais Retardadas (EDFRs) através da obtenção e análise de resultados envolvendo propriedades qualitativas das soluções. Um dos métodos que vamos usar será a aplicação da teoria das Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas que podem ser identificadas com uma classe bem ampla de EDFRs ou EDFRs impulsivas.

Desenvolvimento de uma formulação impulsiva para a equação de Black-Scholes utilizando o método de Muldowney.

Equações Diferenciais Impulsivas (EDIs) são apropriadas para descrever processos de evolução que sofrem variações de estado de curta duração e que podem ser consideradas instantâneas. Nossos interesses mais recentes estão voltados para o estudo dos efeitos de condições de impulso sobre a dinâmica definida pelas Equações Diferenciais Funcionais com Retardamento (EDFRs). Pretendemos investigar problemas envolvendo a dinâmica de sistemas impulsivos. Entre os problemas a serem investigados estão: existência de soluções; estabilidade de soluções; periodicidade de soluções; oscilação de soluções. Consideraremos, sempre que possível, equações que também envolvam retardos.

O objetivo da pesquisa é investigar a estabilidade e oscilações de soluções de equações diferenciais funcionais retardadas (EDFR) sujeitas a perturbações instantâneas, chamadas impulsos, em condições bem gerais.Daremos continuidade à extensão que temos feito das teorias clássicas das Equações Diferenciais Ordinárias e Funcionais pelo tratamento através da Teoria de Integração Não-Absoluta relativa à integral de Riemann generalizada e usaremos esta metodologia no auxílio à obtenção dos resultados.

O presente projeto é parte do Plano de Metas do Departamento de Matemática do ICMC que prevê a criação de uma biblioteca virtual de matemática para as disciplinas oferecidas pelo departamento. Esta etapa do projeto visa elaborar
material didático para a disciplina "Cálculo 1 - SMA 301'' ministrada pelo Departamento de Matemática do ICMC-USP no primeiro semestre de cada ano para cerca de 700 alunos dos diversos cursos de Engenharia, e dos cursos de Matemática, Física, Química, Informática (noturno) e Computação (diurno). Paralelamente à sua elaboração este material será disponibilizado em rede para que todos os alunos e interessados tenham acesso evitanto a necessidade de anotações em sala de aula e dinamizando o ensino da disciplina. O material disponibilizado deverá conter os seguintes itens:

Apostila virtual contendo exposição da teoria contida na ementa da disciplina, exemplos, aplicações, listas de execícios e "links" (para os exercícios da apostila de laboratório descrito a seguir, por exemplo).

Slides/Transparências virtuais com o conteúdo formal da
teoria, figuras e exemplos.

Observação: Os produtos acima serão disponibilizados integralmente pela internet através da Biblioteca Virtual do ICMC-USP com acesso pelo site http://www.icmc.sc.usp.br/\sim sma/suporte.html. A impressão do material será livre.