João Henrique Santos de Andrade.

Este projeto tem como objetivo estudar propriedades qualitativas para algumas equações diferenciais geométricas decorrentes da geometria diferencial e da teoria geométrica da medida. Em primeiro lugar, gostaríamos de fornecer propriedades qualitativas gerais para soluções singulares da equação da $Q$-curvatura em domínios furados. Em segundo lugar, pretendemos obter resultados de multiplicidade e transição de fase para a equação de Allen-Cahn-Hilliard, que, ao tomar o limite quando o parâmetro de relaxamento chega a zero, levaria a resultados existentes para limites de minimizadores de perímetro sob algumas restrições geométricas.

Este projeto tem como objetivo estudar propriedades qualitativas para algumas equações diferenciais geométricas decorrentes da geometria diferencial e da teoria da medida geométrica. Primeiro, gostaríamos de fornecer propriedades de compacidade para soluções singulares da equação da Q-curvatura em domínios furados. Em segundo lugar, pretendemos obter resultados de multiplicidade e transição de fase para a equação de Allen-Cahn-Hilliard, que, ao tomar o limite quando o parâmetro de relaxamento chega a zero, levaria a resultados existentes para limites de minimizadores de perímetro sob algumas restrições geométricas.

Os pesquisadores e estudantes participantes deste Projeto Temático se propoem investigar novas tendências em relação aos métodos geométricos diferenciais usados nas teorias modernas da Matemática e da Física. O programa do projeto combina pesquisa em geometria diferencial e análise geométrica. Transcendendo as fronteiras do sub-projetos associados estão uma gama de técnicas modernas tais como fluxos geométricos, bifurcações de soluções EDPs, calibrações, ações de grupos (simetrias), folheações e dinâmica Hamiltoniana. Estão previstos projetos individuais bem como atividades de pesquisa coordenadas com grupos. Essas atividades favorecerão uma coerência de direções de pesquisa, identificando linhas promissoras de pesquisa interdisciplinar, e encorajarão o estabelecimento de novas colaborações cientificas.

Os problemas variacionais geométricos são um dos tópicos mais antigos e mais fascinantes no âmbito do Cálculo das Variações. Muitos dos problemas mais interessantes da geometria diferencial são variacionais por natureza. As soluções de tais problemas descrevem configurações de equilíbrio de sistemas físicos ou fornecem representantes particulares de classes de homologia ou homotopia. Estudar tais soluções torna-se de fundamental importância em matemática pura e aplicada.Este projeto tem como objetivo utilizar o nosso conhecimento e a nossa compreensão de tais problemas, visando resolver uma série de problemas ainda abertos na teoria. As respostas para tais problemas demandam desenvolver novas abordagens implementando métodos nos quais a equipe do projeto apresenta uma rica e diversa experiência. Entre os problemas tratados no presente projeto, temos o problema isoperimétrico, o problema de Plateau orientado, e os problemas de transição de fase, com ênfase na equação de Allen-Cahn-Hilliard. Alguns destes problemas (isoperimétrico e Allen-Cahn-Hilliard) serão tratados em ambientes métricos suaves e não suaves usando os mais recentes resultados de análise não suave em espaços métricos medidos. Grande importância será dada também à teoria da existência e multiplicidade em problemas com perda de compacidade em espaços métricos não compactos com geometria limitada, dado que resultados parciais indicam que esse é o contexto apropriado para a teoria e seu desenvolvimento. O problema de Plateau orientado será estudado em espaços Euclidianos e variedades suaves, para resolver problemas de (quase-)minimização de área no contexto das correntes integrais (possivelmente, num espaço mais geral de correntes) conjuntamente com a compreensão da regularidade para funções tomando valores no espaço métrico dos Q pontos.

Este projeto contém um plano de pesquisa na área principal de Equações Diferenciais Parciais (PDEs) a ser realizado na Universidade Federal da Pará em colaboração com outras instituições de pesquisa estrangeiras e nacionais. O projeto é dividido em cinco partes principais: Problemas elípticos, Problemas parabólicos, Desigualdades do tipo Trudinger-Moser e Adams, Análise geométrica, PDEs estocásticas singulares. Estamos focados em PDEs que surgem em física, biologia e tecnologia, enquanto nossa escolha de problemas sempre leva em consideração a importância dessas aplicações.

Neste projeto, estudamos propriedades qualitativas de para equações geométricas de quarta ordem. Primeiro, gostaríamos de fornecer expansões assintóticas para soluções singulares para a equação da Q-curvatura na bola furada com uma métrica ambiente não-plana. Segundo, queremos obter resultados de multiplicidade e transição de fase para a equação de Allen-Cahn-Hilliard de quarta ordem, o qual como objetivo final tomando o limite quando o parâmetro de relaxamento vai para zero, levaria a resultados de existência para bordos de Willmore com vínculos de área.

Neste projeto, estudamos propriedades qualitativas de soluções para equações diferenciais parciais de ordem alta e não-locais advindas da Geometria Diferencial. Mais precisamente, estamos interessados no comportamento assintótico local e resultados de multiplicidade para generalizações da equações de Yamabe e Allen-Cahn.

Os problemas variacionais geométricos são um dos tópicos mais antigo e mais fascinante no âmbito do cálculo das variações. Muitos entre os problemas mais interessantes da geometria diferencial são variacionais por sua própria natureza. As soluções de tais problemas descrevem configurações de equilíbrio de sistemas físicos ou fornecem representantes particulares de classes de homologia ou homótopia. Estudar tais soluções resulta de fundamental importância em matemática pura e aplicada. Este projeto tem como objetivo de acrescentar o nosso conhecimento e a nossa compreensão de tais problemas visando resolver uma serie de problemas cuja resposta demanda de desenvolver novas abordagem. Entre os problemas tratados no presente projeto, temos o problema isoperimétrico, o problema de Plateau orientado, e os problemas de transição de fase, com ênfase na equação de Cahn-Hilliard. Todos estes problemas serão tratados em ambientes métricos suaves e não suaves usando os mais recentes resultados de analise não suave em espaços métricos medidos conjuntamente com a teoria mais sofisticada da regularidade para funções a muitos valores. Grande importância sera dada também à teoria da existência e multiplicidade em problemas com perda de compacidade em espaços métricos não compactos a geometria limitada em que uma resposta satisfatoria às problemáticas propostas sera desenvolvida.

Neste projeto abordaremos o tópico Análise Geométrica, uma disciplina interdisciplinar que integra métodos da Análise, Geometria e Topologia. O foco central será o problema de Yamabe, investigando a existência de métricas conformais com curvatura escalar constante em diversos contextos, como manifolds compactos, com fronteira e não compactos. O estudo se estenderá para problemas singulares, especialmente o problema Yamabe singular, e abordará a análise assimptótica como uma ferramenta crucial para compreender o comportamento das soluções em proximidade a conjuntos singulares.Além disso, o projeto buscará generalizações do problema de Yamabe, incluindo sistemas elípticos e operadores de alta ordem, ampliando o escopo da pesquisa. Será explorada a relação entre a Geometric Analysis e equações diferenciais parciais, destacando as implicações matemáticas e suas aplicações em modelos geométricos. O objetivo final é contribuir para o avanço do conhecimento nessa área e promover uma compreensão mais profunda das propriedades geométricas e topológicas de variedades.