Ricardo dos Santos Freire Júnior.

O formalismo das medidas de Gibbs em uma estrutura periódica como que uma rede é um
objeto bem conhecido introduzido em torno dos anos 70 por Dobrushin, Lanford e Ruelle cujo estudo
continua muito intenso no presente. Medidas de Gibbs permitem modelar um sistema em equilíbrio em
uma dada temperatura num ambiente periódico. Quasi­cristais são estruturas quase periódicas, mas
que possuem uma complexidade local finita. O presente projeto pretende se focar na teoria das
medidas de Gibbs em ambientes quase­periódicos, mais especificamente estudar o efeito de
resfriamento nesses sistemas. Entendendo isso, o novo modelo coloca em jogo vários aspectos: o
formalismo clássico da física estatística, a geometria de conjuntos quase­periódicos (conjunto de
Delone, ladrilhamentos), noções de complexidade algorítmica (sob mudança de tipo finito, substituição,
autômatas, máquina de Turing).

O presente projeto dá continuidade a dois Projetos Temáticos anteriores apoiados pela FAPESP com números 2006/03829-2 e 2011/16265-8. O grupo do presente projeto inclui pesquisadores trabalhando em sistemas dinâmicos e geometria em baixas dimensões e conta tanto com pesquisadores sênior quanto com pesquisadores jovens, incluindo contratações recentes. As áreas de que trata o projeto são: - Dinâmica em dimensão 2: - Dinâmica de homeomorfismos e difeomorfismos do toro. - Dinâmica topológica em superfícies. - Transformações de Hénon. - Topologia e geometria de 3-variedades e conexões com dinâmica em dimensão 2. - Teoria de Teichmüller e suas conexões com dinâmica e geometria em dimensões baixas. - Endomorfismos do intervalo, transformações críticas do círculo, renormalização e o espaço de parâmetros. - Dinâmica hamiltoniana. - Curvas pseudo-holomorfas e dinâmica simplética. - Dinâmica complexa em dimensões 1 e 2. - Teoria ergódica contínua e diferenciável de medidas finitas e infinitas. - Formalismo termodinâmico e otimização ergódica. A presente proposta tem como objetivo dar continuidade ao trabalho que vimos fazendo e visa também ampliar as atividades do grupo que cresceu e incluiu novos pesquisadores e novas áreas de pesquisa.

Projeto universal complementar ao Projeto Temático "Dinâmica em baixas dimensões"

A teoria moderna de sistemas dinâmicos começou com o trabalho de Poincaré e, desde então, cresceu e amadureceu, tornando-se uma área importante da matemática. O objetivo principal deste projeto é aprofundar o conhecimento das seguintes áreas de sistemas dinâmicos: - Sistemas hamiltonianos com dois graus de liberdade, seus aspectos dinâmicos e topológicos, e sua estabilidade no sentido de Liapunof. - Difeomorfismos em dimensão 2 como, por exemplo, transformações de Hénon e transformações de tipo twist do anel e do toro. - Teoria de renormalização em dimensões 1 e 2. - Endomorfismos do intervalo (por exemplo, questões analíticas como decaimento de geometria e existência de medidas invariantes); transformações críticas do círculo; renormalização e o espaço de parâmetros. - Teoria de Teichmüller e suas conexões com dinâmica e geometria em dimensões baixas. - Teoria ergódica contínua e diferenciável de medidas finitas e infinitas. - Otimização ergódica. O presente projeto dá continuidade a um Projeto Temático de mesmo título apoiado pela FAPESP com número 2006/03829-2.

Neste projeto buscamos encontrar condições suficientes que garantam a instabilidade de pontos de equilíbrio em sistemas lagrangeanos particulares cuja energia potencial não possui mínimo neste ponto de equilíbrio e este fato pode ser detectado através do estudo do seu polinômio de Taylor de ordem $k$ ou, mais especificamente, em que o jato de ordem $k$ da energia potencial no ponto de equilíbrio mostra que este não é (um ponto) de mínimo. O projeto se foca no caso particular de 4 graus de liberdade onde a energia potencial é separada em dois planos, buscando compreender a situação onde temos duas direções naturais para se encontrar uma trajetória assintótica ao ponto de equilíbrio, o que no momento também significa que não temos uma técnica para efetivamente "encontrar" tal trajetória. Resultados nesta direção podem dar um novo insight no estudo do problema conhecido como inversão do teorema de Dirichlet-Lagrange. Financiado por auxílio regular da FAPESP 2010/20059-1 de abril/2011 a março/2013.