Rodrigo Bissacot Proença.

Muitas estruturas matemáticas são provenientes da física e o papel da matemática pura é fazer um estudo minucioso destas estruturas com o intuito de desenvolver novas ferramentas a serem usadas nas áreas correlatas. Este projeto lida principalmente com álgebras de operadores (que surgiram como um formalismo para estudar mecânica quântica) e sistemas dinâmicos (que são usados para descrever situações em que há uma evolução temporal). A interação entre as duas áreas se mostra muito frutífera uma vez que características dinâmicas são refletidas algebricamente e vice-versa. Além disso, uma grande subárea dentro da álgebra de operadores é a geometria não-comutativa que vem motivada pela não-comutatividade presente no princípio da incerteza de Heisenberg. De particular interesse na geometria não-comutativa estão as superfícies quânticas que são C*-álgebras que aparecem como deformação da álgebra de funções de objetos clássicos. O objetivo geral do projeto é o de desvendar novas ferramentas e relações entre sistemas dinâmicos e álgebras de operadores, fazendo um paralelo entre os casos clássicos e quânticos. Para isso serão utilizados objetos combinatórios como grafos para descrever a estrutura das C*-álgebras em questão de uma maneira mais visual, assim como serão utilizados diversas maneiras de construir e estudar C*-álgebras, tais como grupoides, semigrupos inversos e ações parciais.

Thermodynamic formalism of a dynamical system studies the different states of a system atequilibrium for a fixed temperature. The goal of this project is to study some classical systems of unbounded spins at very low and zero temperatures from an Ergodic point of view.

This project is a continuation of two previous thematic projects supported by FAPESP with numbers 2006/03829-2 and 2011/16265-8. The present group includes researchers working on dynamical systems and low-dimensional geometry and has senior as well as and young researchers, including recent hires. The areas covered by the project are: dynamics in dimension 2: dynamics of homeomorphisms and diffeomorphisms of the torus; topological dynamics on surfaces; Hénon maps; Teichmüller Theory and its connections with dynamics and geometry in low dimensions; endomorphisms of the interval, critical circle maps, renormalization and parameter space; hamiltonian dynamics; pseudo-holomorphic curves and symplectic dynamics; complex dynamics in dimensions 1 and 2; continuous and differentiable ergodic theory of finite and infinite measures; thermodynamic formalism and ergodic optimization. The purpose of this proposal is to continue to the work we have been doing and also aims to expand the activities of the group that has grown and includes new researchers and new areas of research. (AU)

O Lema Local de Lovász é uma das principais ferramentas usadas em Combinatória quando a abordagem utiliza o Método Probabilístico, o resultado está intimamente ligado ao Gás de rede. Um novo critério para a convergência da série de Mayer deste gás permitiu a obtenção de uma nova versão do Lema Local de Lovász. Neste projeto pretendemos investigar a existência de outros resultados na Mecânica Estatística que podem ter consequências no Método Probabilístico. Também investigaremos possíveis novas aplicações do novo Lema proveniente da Mecânica Estatística.

Projeto Temático da FAPESP, coordenado por André de Carvalho (IME-USP). A teoria moderna de sistemas dinâmicos começou com o trabalho de Poincaré e, desde então, cresceu e amadureceu, tornando-se uma área importante da matemática. O objetivo principal deste projeto é aprofundar o conhecimento das seguintes áreas de sistemas dinâmicos: - Sistemas hamiltonianos com dois graus de liberdade, seus aspectos dinâmicos e topológicos, e sua estabilidade no sentido de Liapunof. - Difeomorfismos em dimensão 2 como, por exemplo, transformações de Hénon e transformações de tipo twist do anel e do toro. - Teoria de renormalização em dimensões 1 e 2. - Endomorfismos do intervalo (por exemplo, questões analíticas como decaimento de geometria e existência de medidas invariantes); transformações críticas do círculo; renormalização e o espaço de parâmetros. - Teoria de Teichmüller e suas conexões com dinâmica e geometria em dimensões baixas. - Teoria ergódica contínua e diferenciável de medidas finitas e infinitas. - Otimização ergódica. O presente projeto dá continuidade a um Projeto Temático de mesmo título apoiado pela FAPESP com número 2006/03829-2.

Neste projeto estudaremos a possível extensão de resultados da então recente área chamada Otimização Ergódica para sistemas bidimensionais em Mecânica Estatística. As técnicas de otimização já são utilizadas na descrição do conjunto dos estados de Gibbs à temperatura zero, as chamadas medidas ground states onde abordagem garante a existência (caso não-compacto) e em alguns casos possibilita uma descrição precisa do conjunto das ground states em modelos unidimensionais. A ideia é investigar a existência de resultados análogos aos de Otimização para modelos em dimensão 2 buscando utilizar sempre que possível os resultados já conhecidos para tais modelos dentro do contexto de Mecânica Estatística.