Gabriel Ponce.

Este é um projeto de extensão que envolve o desenvolvimento de uma plataforma com ferramentas educacionais para alunos e professores. A plataforma é desenvolvida pelo docente e dois bolsistas SAE da Unicamp. Este projeto é extremamente formativo pois envolve não somente o aprendizado e uso de linguagens de programação, mas também o desenvolvimento de materiais didáticos voltados para a graduação. Quando do lançamento da plataforma, é esperado que ela seja amplamente acessada tanto pelo público interno quanto externo à Unicamp.

Professor e coordenador do ONE - 2022. Durante o ano de 2022 ministrei aulas de matemática a professores da rede pública. Paralelamente, os professores participantes formaram grupos de treinamento para OBMEP em suas respectivas escolas.

Este projeto tem como objetivo desenvolver uma plataforma de acesso aberto, com conteúdos de auxílio ao ensino e aprendizagem , voltados tanto para alunos de graduação quanto para professores universitários. O projeto conta com um bolsista BAS da UNICAMP.

Financiamento: FAPESPEste projeto se destina ao estudo de três principais linhas de investigação: 1) perturbação de difeomorfismos de Anosov para remover ressonâncias dos expoentes de Lyapunov; 2) estudo das propriedades de endomorfismos de Anosov, como rigidez e existência de estruturas geométricas invariantes; 3) propriedades ergódicas e existência de Blenders para fluxos parcialmente hiperbólicos. No item (1), conjecturamos que endomorfismos de Anosov especiais cujo levantamento possui decomposição suave, são suavemente conjugados a um endomorfismo de Anosov linear. Para o caso não especial não propomos uma conjectura específica, mas acreditamos ainda ser possível obter algum tipo de rigidez. No item (2), o intuito é desenvolver ferramentas para remover ressonância de expoentes de Lyapunov sem alterar a regularidade das direções estável e instável do Anosov. Com isso pretendemos abordar a pergunta sobre quais variedades admitem um difeomorfismo de Anosov com decomposição suave do fibrado tangente. No item (3), o qual já se encontra em desenvolvimento juntamente com Y. Arthur de Jesus e M. E. Noriega, estamos trabalhando na criação de estruturas do tipo Blender para perturbados de fluxos parcialmente hiperbólicos. Tais estruturas serão usadas posteriormente para obter critérios de ergodicidade para uma família genérica de tais fluxos. Todas as direções mencionadas estão ligadas a problemas importantes em sistemas dinâmicos e, mais especificamente, teoria ergódica suave.

Financiamento: FAPESP.Este projeto temático deve primordialmente integrar grupos de pesquisa do Imecc-Unicamp voltados ao estudo geométrico de fenômenos dinâmicos. As áreas envolvidas são Sistemas de Controle, Sistemas Dinâmicos, Sistemas Dinâmicos Estocásticos, Teoria de Lie e Geometria Diferencial, que se entrelaçam frequentemente pelo emprego de métodos semelhantes e resultados que se encadeiam. Diversas linhas de pesquisa são incluídas no projeto, que conta com 12 pesquisadores do Departamento de Matemática do Imecc e de outras Instituições do Estado de São Paulo, 36 estudantes de pós-graduação e quase 70 colaboradores de Instituições brasileiras e do exterior. O presente projeto será norteado através das seguintes ações: i) investir na formação de mestres, doutores e pesquisadores, ii) continuar o processo de inserção nacional e internacional dos pesquisadores através de fluxos contínuos de professores visitantes de alto nível, participação em congressos com apresentação de trabalhos, visitas curtas a centros de reconhecida reputação, etc.

Projeto temático FAPESP. O projeto é dividido em seguintes sub-projetos com aspectos algebrico e probabilístico. Resultados esperados deverão ter impacto positivo no desenvolvimento da área de sistemas dinâmicos: A. Propriedades ergódicas de sistemas dinâmicos preservando alguma probabilidade "natural": 1. Estados de equilíbrio (em particular medidas de máxima entropia, medidas de Margulis) 2. Estabilidade Ergódica para difeomorfismos conservativos 3. Estados de equilíbrios para ações de grupos 4. Transformações expansoras por pedaços de baixa regularidade B. Comparação de sistemas dinâmicos clássicos parcialmente hiperbólicos e passeios aleatórios: Princípio de invariança (introduzido por Avila-Viana generalizando trabalhos de Furstenberg, Ledrappier e outros) C. Teoria de renormalização e Universalidade em sistemas dinâmicos uni-dimensionais D. Deformações de sistemas dinâmicos uni-dimensionais E. Sistemas dinâmicos definidos pela ações de grupos: Sistemas e sub-sistemas de Anosov e suas representações em SL(N,R)

Este projeto de pesquisa consiste no estudo de conjugações suaves entre difeomorfismos parcialmente hiperbólicos e suas respectivas linearizações. Tal projeto culminou na visita do pesquisador Changguang Dong ao IMECC por um período de dez dias no qual ele ministrou uma palestra e trabalhou em colaboração com o grupo de sistemas dinâmicos.

Dada uma folheação regular de uma variedade Riemanniana, podemos nos perguntar o quão complexo é o comportamento desta folheação. Entre as ferramentas introduzidas para quantificar a complexidade de uma folheação estão os expoentes de Lyapunov transversais e a entropia geométrica de folheações. Ambas ferramentas se mostraram extremamente importantes para se obter informações dinâmicas de uma folheação, porém ainda há muitos problemas em aberto nesta área. O objetivo principal deste projeto será utilizar ferramentas dinâmicas atuais para entender melhor o comportamento dinâmico de uma folheação genérica.

Dada uma folheação regular de uma variedade Riemanniana, podemos nos perguntar o quão complexo é o comportamento desta folheação. Entre as ferramentas introduzidas para quantificar a complexidade de uma folheação estão os expoentes de Lyapunov transversais e a entropia geométrica de folheações. Ambas ferramentas se mostraram extremamente importantes para se obter informações dinâmicas de uma folheação, porém ainda há muitos problemas em aberto nesta área. O objetivo principal deste projeto será utilizar ferramentas dinâmicas atuais para entender melhor o comportamento dinâmico de uma folheação genérica. Para isso pretendemos estudar: 1. em que condições o splitting transversal de Lyapunov de uma folheação é dominado; 2. em que casos as medidas transversais invariantes são absolutamente contínuas com respeito à Lebesgue na transversal; 3. como perturbar folheações de entropia geométrica nula para obter folheações de entropia geométrica positiva (nos casos em que isso for possível) e como remover expoentes de Lyapunov transversais nulos. Esperamos que, uma vez desenvolvidas, as ferramentas citadas acima venham a ser de grande importância no estudo de dinâmica de folheações.

As atividades constituem de um ciclo de palestras de sistemas dinâmicos no II CBJM com a presença de 12 palestrantes os quais são jovens matemáticos no sentido que terminaram o doutorado ha no máximo dez anos.