Jaime Angulo Pava.

The research proyect is in the area of nonlinear partial differential equations
(or dispersive partial differential equations). It predicts the
collaboration between Brazilian, Chilean and French researchers and an extensive development of
human resources. The focus of investigation are: the qualitative study of the Cauchy problem for some dispersive
equations and their study of properties of solutions to these problems.

Este topico de pesquisa na area das Equacoes Dispersivas nao-lineares
consiste no estudo qualitativo de modelos de tipo Schrodinger and Korteweg-de Vries sobre grafos estrelados (star graphs). Nossa motivacao para este estudo e' baseado nas multiples aplicacões que surgem na 
 física, química e engenharia quando se considera a dinamica de um sistema quasi-unidimensional (por exemplo, ``meso" ou ``nano-escala") que se assemelham com uma vizinhanca de um grafo. Em particular, temos os fios quanticos, cristais fotonicos, nano-estruturas de carbono, guias de ondas finas, optica nao-linear, condensados de Bose-Einstein. Os grafos estrelados apresentam novos desafios matematicos nao triviais que reunirao ferramentas e intuicoes provenientes da i}sica matematica, das PDE's, do calculo das variacoes e da teoria espectral. O foco de nossa pesquisa sera estudar a dinamica deste modelos nao-lineares relacionados a existencia. Tambem estaremos interessados no problema da boa colocacao do problema de Cauchy associado a estos modelos e a possibilidade de solucoes com singularidades (blow-up). 

Com base na importancia do topico a ser investigado, pretendemos realizar a escrita de algumas notas relacionando a teoria de extensao para operadores simetricos e os star graphs. Estas notas serao submetidas para um mini-curso avancado no proximo Coloquio Brasileiro de Matematica/2019.

Outro tipo de estudo de nosso interesse sera aquele sobre a dinamica $n$-dimensional associada ao estudo de ondas internas em sistemas de duas camadas conhecidos como Boussines-Full dispersion systems. A literatura associada a estes sistemas é muito reduzida devido a estrutura nao-convencional das equacoes. Nosso interesse neste caso, ser\a o de estudar novas estrategias no estudo da existencia e estabilidade (linear ou orbital) das ondas solitarias.

Nosso projeto de pesquisa é inovador e varios resultados relevantes
nesta area ja tem sido obtidos pelo proponente.

Este topico de pesquisa na area de Equacoes Diferenciais Parciais consiste no estudo da
existencia e estabilidade e/ou instabilidade nao-linear de ondas
viajantes do tipo ondas periodicas associadas a modelos de equacoes
dispersivas nao-lineares que acontecem em varias situacoes f\isicas tais como: optica nao-linear ou ondas nao-lineares em fluidos estratificados. Este topico de pesquisa tem tido pouco desenvolvimento nas ultimas decadas e atualmente esta sendo uma area de pesquisa muito ativa. Varios resultados relevantes nesta area ja tem sido obtidos pelo proponente e seu colaborador, neste estudo temos usado ferrramentas do analise de Fourier, teoria espectral para operadores auto-adjuntos e teoria de perturbacao analitica. Tambem estamos interessados no problema da boa colocacao do Problema de Cauchy associado a istos modelos, a saber, obter resultados de existencia de solucoes, de unicidade e de dependencia das solucoes obtidas com relacao aos dados iniciais (e sobre quaisquer parametros
de importancia que por ventura ocorram no problema).

the purpose of this joint project is to study mathematical models of nonlinear dispersive waves that occur in theories of fluids, of plasmas, [of nonlinear optics, Bose-Einstein condensates ] and other branches of physical science. Several aspects regarding the solutions of these systems will be under consideration, such as the stability and instability phenomena of nonlinear dispersive equations as well as formation of singularities will be investigated both theoretically and numerically. We also will study rigorously the derivation of some models and the appropriated natural boundary conditions for them. In particular, the Boussinesq equations and systems, the Zakharov-Kusnetzov equation and the nonlinear Schrödinger equations with inhomogeneous nonlinearity will be addressed. Also, we will study some inverse problems related to this topic.

Este topico de pesquisa na area de Equacoes Diferenciais Parciais consiste no estudo da
existencia e estabilidade/instabilidade nao-linear de ondas
viajantes do tipo ondas solitarias ou periodicas associadas a modelos de equacoes
dispersivas nao-lineares que acontecem em varias situacoes fisicas tais como : optica nao-linear ou ondas nao-lineares em fluidos estratificados. Os modelos a ser estudados serao em uma ou em altas dimensoes. Tambem estamos interessados no problema da boa colocacao do Problema de Cauchy associado a istos modelos, a saber, obter resultados de existencia de solucoes, de unicidade e de dependencia das solucoes obtidas com relacao aos dados iniciais (e sobre quaisquer parametros de importancia que por ventura ocorram no problema). Em particular, o caso
periodico apresenta em geral um diferente tratamento comparado com o caso continuo. Nosso projeto de pesquisa e inovador e varios resultados relevantes nesta area ja tem sido obtidos pelo proponente.

Neste projeto sao propostos estudos em varias areas das EDP's. Por exemplo, equacoes hiperbolicas, leis de conservacao, equacoes dispersivas e teoria de control. Pesquisadores de varias instituicoes brasileiras fazem parte da equipe, como: IMPA, UFRJ e USP.

Cooperation agreement CAPES (BRAZIL)- FCT (PORTUGAL)

O projeto em tela procura fortalezer o estudo das equacoes de evolucao dispersivas nao- 
lineares no ambito Brasileiro e poder relacionar centros de pesquisa estabelecidos (IME- 
USP) com outros tais como o Instituto de Matematica da UFAL. 
Nosso foco de interesse sao o estudo de especıficas propriedades qualitativas associadas 
as equacoes dispersivas nao-lineares, as quais tem mostrado nos ultimos anos serem de 
central importancia no entendimento da dinamica destas equacoes. A existencia, estabi- 
lidade/instabilidade de ondas viajantes, assim como o estudo da existencia e unicidade 
local e global de solucoes para os modelos em estudo formam o coracao de nosso pro jeto.

Nas duas últimas décadas, o interesse pelo estudo da existência e estabilidade de ondas solitárias para equações de evolução não-lineares tem se desenvolvido substancialmente como é evidenciado pela proliferação de literatura e reuniões cientificas relacionadas as assunto. Também temos sua difusão em vários ramos das ciências aplicadas, como por exemplo, na mêcanica quântica, fisíca do estado sólido, propagação do laser e cristalografía.

Já o estudo da existência e estabilidade de ondas viajantes períodicas, tem tido pouco desenvolvimento nos últimos anos e resultados teoricos sobre o tema são poucos. Assim, é de nosso interesse neste projeto obter novos métodos e resultados relacionados à existência e estabilidade não-linear de ondas viajantes períodicas para específicas equações de evolução que são de permanente interesse. Entre estas equações temos, por exemplo, a equação de Schrödinger não-linear, a equação Korteweg-de Vries e a modificada Korteweg-de Vries. Também estamos interessados na possivel formação de singularidades deste tipo de soluções pelo fluxo das equações em questão. 


É esperado de uma forma geral, que as soluções ondas viajantes períodicas positivas sejam estaveis. Como neste tipo de problemas, unicidade de soluções
não é obtido de uma forma geral e as outras soluções podem mudar de sinal, é esperado que as soluções sejam instáveis.