Míriam Garcia Manoel.

Programa Unificado de Bolsas de Estudos na vertente Cultura e Extensão

Este projeto tem por objetivo o avanço das fronteiras do conhecimento da teoria de singularidades, através do desenvolvimento de temas fundamentais desta teoria. Merecem destaque temas como o reconhecimento da topologia e geometria das singularidades reais e complexas, a caracterização de famílias de conjuntos singulares que satisfazem a alguma condição de equisingularidade e a geometria Lipschitz de singularidades. Os invariantes serão investigados em suas mais diversas formas, geométricas, algébricas ou topológicas. Classes especiais de singularidades, como as singularidades de matrizes e as variedades determinantais e tóricas serão investigadas. Resultados pioneiros obtidos recentemente motivam novas linhas de pesquisa nesta área.O tema central da proposta é o estudo das singularidades reais e complexas de conjuntos, aplicações, equações diferenciais e campos de vetores. A questão motriz é o estudo da estrutura de diversas classes de objetos singulares e de suas perturbações genéricas, através do desenvolvimento de métodos de classificação e de algoritmos para o reconhecimento das singularidades. O estudo de invariantes das singularidades e da topologia de fibrações a elas associadas é parte fundamental da proposta, que também objetiva às aplicações da teoria, em especial à geometria e aos sistemas dinâmicos. A equipe brasileira é especializada nesta área de pesquisa e promoveu avanços substanciais e pioneiros no estudo de seus invariantes, nas aplicações da teoria das singularidades à geometria e topologia de subvariedades, assim como na teoria qualitativa das EDO e bifurcações.O principal objetivo do projeto \'e a intera\c c\~ao das atividades de pesquisa em singularidades da equipe de S\~{a}o Carlos com outros centros no Brasil e no exterior, buscando promover o desenvolvimento dos seguintes temas: Classificacação, equisingularidade e invariantes, Geometria, topologia de variedades e variedades singulares; Singularidades em geometria diferencialSingularidades de campos de vetores. Os pesquisadores envolvidos no projeto possuem experiência extensiva nas áreas de pesquisa em pauta e a colaboração prévia entre os mesmos já produziu avanços fundamentais na teoria de singularidades e nas suas aplicações. A interação entre os pesquisadores dos diversos centros é evidenciada pelas publicações da equipe.

Este projeto tem por objetivo promover os trabalhos de cooperação internacional na interface da teoria de Singularidades com sistemas dinâmicos com simetria. Com o envolvimento de pesquisadores e seus estudantes, este projeto investe na consolidação de um trabalho em equipe nas linhas de investigação de sincronias em redes de sistemas acoplados, multiplicidades de singularidades com simetria, análise de bifurcações em curvas algébricas com simetrias imperfeitas e temas correlatos.

A teoria de singularidades possui aplicações nas mais diferentes áreas das ciências, tais como a ótica, robótica e visão computacional, e interage com diversas áreas da matemática, a geometria e topologia algébricas, álgebra comutativa, geometria diferencial e afim, teoria qualitativa de equações diferenciais e teoria de bifurcações. Por outro lado, estas áreas enriquecem esta teoria com problemas e resultados interessantes e de relevância. Este projeto tem por objetivo o desenvolvimento de temas fundamentais da teoria de singularidades e acreditamos que estaremos colaborando com o avanço nas fronteiras do conhecimento dentro desta linha de pesquisa. Merecem destaque temas como classificação, topologia e geometria das singularidades de aplicações reais e complexas, bem como a determinação de equisingularidade em famílias. Os invariantes são investigados em suas mais diversas formas, geométricas, algébricas ou topológicas. A geometria bi-Lipschitz e as singularidades de matrizes e variedades determinantais sãao ponto central nesta investigação, com temas que motivam novas linhas de pesquisa nesta área. Ressaltamos também o desenvolvimento de pesquisas relacionando multiplicidades com a teoria de cohomologia local de aneis e módulos. Métodos computacionais serão aplicados, tanto para o entendimento dos invariantes e da topologia de singularidades, quanto no desenvolvimento de algoritmos para o estudo de multiplicidades. Este projeto tem quatro linhas de pesquisa articuladas entre si possibilitando a interação dos diversos pesquisadores envolvidos no projeto e o cumprimento dos objetivos propostos. As linhas de pesquisa são: Classificação, equisingularidade e invariantes; geometria e topologia; álgebra comutativa, geometria algébrica e singularidades; aplicações a aspectos qualitativos de sistemas dinâmicos contínuos e discretos. O projeto conta com pesquisadores com experiência extensiva nas áreas de pesquisa em pauta e que já produziu avanços fundamentais na teoria e nas suas aplicações. Ressaltamos também a excelente capacidade dos jovens pesquisadores do grupo com uma contribuição significativa no avanço da ciência em Singularidades. Outro objetivo é fortalecer a colaboração com pesquisadores de outros estados, tasi como Maranhão, Ceará, Paraíba, Piaui, Minas Gerais, Espírito Santo, Paraná, Rondônia e também de outros países, tais como Alemanha, Espanha, Estados Unidos, França, Japão, Inglaterra, Irã, México, Polônia e Portugal.

A teoria de singularidades trata do estudo de variedades e aplicações singulares. É uma teoria bem consolidada e ganhou interesse devido a suas amplas aplicações a várias áreas das ciências e à sua interação com diversas áreas da matemática. Existem aplicações da teoria à ótica, à robótica e à visão computacional, entre outras.
O projeto possui quatro linhas de pesquisa centrais: uma trata de problemas na teoria de singularidades e as três outras consideram aplicações desta teoria à geometria diferencial, às equações diferenciais e a visão computacional.
O projeto dará continuidade aos trabalhos da equipe nestes ramos de pesquisa e iniciará duas novas e grandes linhas de pesquisa sobre o estudo de campos vetoriais do ponto de vista infinitesimal e o reconhecimento de imagens usando uma abordagem geométrica. Os problemas são desafiadores, ambiciosos e inovadores, tanto do ponto de vista teórico quanto nas aplicações. A equipe é formada por pesquisadores de renome internacional e, contando com sua experiência extensa e variada, é bem preparada para enfrentar os desafios dos problemas do projeto. Vale ressaltar que uma parte do projeto é multi-disciplinária e envolve matemáticos e pesquisadores na área de computação.
Além dos resultados científicos esperados, a equipe contribuirá na formação de recursos humanos através da orientação de alunos de iniciação científica, doutorado e pós-doutorado, e na disseminação no conhecimento científico.

O Programa é uma parceria entre a Universidade de São Paulo e a UNIVESP, com interveniência da FUSP, que visa à formação didática e pedagógica de estudantes de pós-graduação da USP, UNICAMP e UNESP para o ensino na modalidade de EaD. Destina-se a oferecer conteúdo prático e teórico no ambiente da plataforma Microsoft para a formação supervisionada nessa modalidade de ensino. Destina-se, exclusivamente, a alunos regularmente matriculados em Programas de Pós-Graduação, cursos de Mestrado, Doutorado e Doutorado Direto.

This project proposes to develop the theory of equivariant dynamics in distinct new
directions, which will necessitate applying and extending the tools from representation theory, singularities and normal form theory. The main focus is the investigation of the class of gradient systems related to networks of coupled dynamical systems.