Alexandre Casassola Gonçalves.

Nesse projeto aplicaremos resultados das equações de vórtices e da conhecida teoria de Hermite-Einstein para resolver ou aprimorar resultados sobre equações diferenciais parciais elípticas em superfícies de Riemann. Dentre essas citamos equações elípticas autônomas da forma $\Delta u+f(u)$, onde buscamos condições necessárias e suficientes para existência de soluções estáveis. Esse problema se relaciona com a equação de Allen-Cahn, que tem sido exaustivamente estudada nas últimas duas décadas.

Um outro tipo de problema que estudamos nesse projeto é a equação de curvatura prescrita em superfícies, $\Delta u+K(x)e^{2u}-K_0(x)=0$, com especial ênfase no caso da esfera euclidiana $S^2$. As soluções dessa equação correspondem a métricas pontualmente conformes a métrica original na superfície mas com curvatura gaussiana dada pela função $K(x)$. Até o momento esse problema não foi totalemnte resolvido no caso da esfera, não obstante avanços em casos particulares da curvatura. Em um trabalho publicado recente, mostramos a existência de soluções para o caso da curvatura ser não-negativa, com um número finito de zeros isolados de grau par e uma certa simetria do centro de massa desses zeros. Para tal foi essencial utilizar certos fibrados lineares holomórficos e seções desses fibrados que resolvem uma redução dimensional da equação de Hermite-Einstein. No momento investigamos uma flexibilização que permita uma classe mais ampla de funções $K(x)$, que estão
relacionadas ao quadrado da norma das seções holomórficas em questão.

Estudo de equações elípticas em superfícies riemannianas compactas, usando técnicas geométricas motivadas por Teoria do Calibre. Tais equações aparecem em problemas de curvatura gaussiana prescrita, no estilo de Berger, Kazdan e Warner. Questões de unicidade e existência de soluções.
Dispomos de 2 equações semi-lineares elípticas que se relacionam via um fibrado linear complexo construído sobre a superfície. Desejamos
analisar de que forma aspectos de uma equação podem migrar para a outra, como não degenerescência do funcional linear associado, multiplicidade de soluções, etc. Essa pesquisa cobre uma aplicação na teoria de imersões isométricas em formas espaciais de dimensão 3, com curvatura média constante. Um outro aspecto do projeto se refere ao estudo de estabilidade de soluções estacionárias de equações parabólicas 
do tipo de difusão, em variedades riemannianas compactas sem fronteira.