Paulo Leandro Dattori da Silva.

Acordo de Cooperação para desenvolvimento de pesquisa nos centros ICMC-USP (Brasil) e Universiteit Gent (Bélgica) financiado pela Research Foundation - Flanders/FWO e pela FAPESP. Neste projeto de cooperação bilateral, propomos investigar propriedades globais de certos sistemas de equações diferenciais parciais de importância geométrica, em espaços conhecidos como estruturas tubulares, ou variedades produtos. Eles são constituídos por sistemas de campos vetoriais com simetrias que podem ser estudados via análise de Fourier. Nosso objetivo é determinar condições necessárias e/ou suficientes para sua resolubilidade e para a regularidade de suas soluções, quando o espaço ambiente é o que chamamos de grupo de Lie, que codifica simetrias extras das equações e suas soluções. Certos operadores de segunda ordem associados a tais sistemas (conhecidos como sub-Laplacianos, ou somas de quadrados de campos vetoriais) também serão investigados deste ponto de vista, uma vez que suas propriedades estão relacionadas, e também conectam os sistemas anteriores com aplicações. Serão estudados tanto a teoria geral como casos especiais concretos. Iremos abordar questões de fundamental importância para estes sistemas, como a hipoelipticidade e a resolubilidade do correspondente sistema de equações diferenciais parciais. O projeto combinará de forma única a expertise da equipe brasileira em hipoelipticidade e resolubilidade, com a expertise da equipe belga em diferentes aspectos da análise de Fourier e da teoria dos operadores pseudo-diferenciais em grupos de Lie.

Nossa proposta está baseada no ensino da disciplina Análise Real cujo conteúdo é fundamental na formação dos profissionais da área de matemática (licenciatura, bacharelado e matemática aplicada) e de áreas afins como estatística, engenharia, economia e física. O projeto é financiado pela USP via Edital PRG 01/2020-2021 - CAEG.

O objetivo da pesquisa é, estudar as propriedades gerais das soluções (existência, regularidade, continuação única, etc) de (sistemas de) campos vetoriais complexos e sua conexão com a teoria das funções holomorfas de várias variáveis.

Seja X uma variedade suave, conexa, n-dimensional e seja L um campo vetorial complexo não-singular, com coeficientes suaves, definido em X. Este projeto dirige-se ao estudo de problemas relacionados a resolubilidade e hipoeliticidade (semi)global de equações da forma Lu=Au+B\overline{u}+f definidas em X, sendo A, B e f funções suaves. Também, dirige-se ao estudo do problemas de contorno (tipo Riemann-Hilbert) para o campo L. Os problemas mencionados acima poderão ser tratados considerando outros espaços de funções, por exemplo, L^p. Este projeto também é dirigido ao estudo da resolubilidade e hipoeliticidade do complexo associado a um sistema de 1-formas fechadas definidas em variedades compactas.

Seja X uma variedade suave, conexa, n-dimensional e seja L um campo vetorial complexo não-singular, com coeficientes suaves, definido em X. Este projeto dirige-se ao estudo de problemas relacionados a resolubilidade e hipoeliticidade global e/ou semiglobal de equações da forma Lu=Au+B\overline{u}+f definidas em X, sendo A, B e f funções suaves. Também, dirige-se ao estudo do problema de Riemann-Hilbert generalizado Lu=Au+B\overline{u}+f, em U\subset\mathbb{R}^2 \Re(gu)=\chi, sobre \partialU sendo L campo vetorial complexo com coeficientes suaves definido em R^2, f\in C^\infty(R^2), g\in C^\alpha(\partialU, S^1) e \chi\in C^\alpha(\partialU, R). Os problemas mencionados acima poderão ser tratados considerando outros espaços de funções, por exemplo, L^p. Este projeto também é dirigido ao estudo da resolubilidade e hipoeliticidade do complexo associado a um sistema de 1-formas fechadas definidas em variedades compactas e ao cálculo da cohomologia relativa.

Seja X uma variedade suave de dimensão n e seja L um campo vetorial,
com coeficientes suaves, definido em X. 

Considere o operador P=L+a, sendo a uma função suave a valores complexos, definido em X.

Um dos objetivos deste projeto é estudar a resolubilidade semiglobal de P, isto é, a resolubilidade numa vizinhança de subconjuntos compactos K de X.

Seja K um subconjunto compacto de X. Dizemos que o operador P é
resolúvel em K se para qualquer f pertencente a um subespaço de codimensão finita de C^{\infty}(X), existe uma distribuição u solução da equação Pu=f, numa vizinhança de K.

A condição (P) é necessária para a resolubilidade de P em K. Aqui pretendemos obter outras condições necessárias e condições suficientes para
a resolubilidade em K.

Pretendemos, também, estudar a resolubilidade global. Para tal, existem duas noções. Dizemos que P é globalmente resolúvel se a imagem de P for igual do anulador do núcleo do transposto de P; se, além disso, a dimensão do núcleo do transposto de P for finita, dizemos que P é fortemente resolúvel.
 
As resolubilidades semiglobal e global também serão tratadas no contexto das classes Gevrey.

Relacionado ao estudo da resolubilidade de P em K pretendemos estudar equações da forma
Lu=Au+B\overline{u}+F, sendo A, B e F suaves em X.

Os principais objetivos do projeto são dar continuidade às pesquisas desenvolvidas pelo grupo proponente durante a vigência do Projeto Temático 2003/12260-0 nas áreas de Equações Diferenciais Parciais Lineares e Análise Complexa Multidimensional, bem como fortalecer as atividades de formação de estudantes de pós-graduação nestas áreas de pesquisa. Os principais tópicos a serem abordados são: (a) Resolubilidade local, semi-global e global para operadores diferenciais lineares e sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (b) Propriedades de regularidade das soluções: hipoelipticidade $C^\infty$, analítica e Gevrey; (c) Propriedades gerais das soluções aproximadas para sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (d) Teoria de espaços de Hardy para campos vetoriais não elípticos; (e) Extensão dos teoremas de F. e M. Riesz e de Rudin-Carleson para campos vetoriais complexos.

Seja X uma variedade suave e P(x,D) um operador diferencial parcial linear de ordem m, com coeficientes suaves em X. Seja K um subconjunto compacto de X. 
Dizemos que um operador P(x,D) é resolúvel em K se para qualquer f pertencente a um subespaço de co-dimensão finita de C^{\infty}(X) existe u\in\mathcal{D}'(X) solução da equação P(x,D)u=f numa vizinhança de K. A bem-conhecida condição (P) de Nirenberg-Treves comparece de maneira fundamental na caracterização da resolubilidade em K de P(x,D). Se P(x,D) é resolúvel em K então necessariamente a condição ( P) deve ser satisfeita numa vizinhança aberta de K. Além disso, se (CG) - Qualquer ponto característico de P(x,D) sobre K está sobre um intervalo compacto de uma curva bi-característica de \Re(qp), sobre a qual q\neq 0, com pontos finais não característicos sobre K - então a condição (P) implica resolubilidade de P(x,D) em K num sentido mais forte; soluções podem ser obtidas em C^{\infty}(X). Hörmander denomina os operadores P(x,D) que satisfazem a condição (P) e a condição geométrica (CG) como de tipo principal. O que dizer, então, da resolubilidade semi-global de operadores que não são de tipo principal? Com o objetivo de esclarecer a questão acima, este projeto de pesquisa se concentra em operadores diferenciais parciais lineares de ordem 1. Resolubilidade analítica e resolubilidade Gevrey também serão abordadas.

Este projeto de pesquisa dirige-se ao estudo das equações dadas por Pu(x)=(L+ a_0)u(x)=f(x), f,a_0 suaves, sendo L um campo vetorial, com L, f e a_0 dados, e u desconhecida. Mais especificamente, ao estudo de uma das propriedades básicas desta área: a existência de soluções. A resolubilidade local de P é caracterizada pela condição (P) de Nirenberg-Treves. Tal condição também comparece de maneira fundamental na caracterização da resolubilidade semi-global, ou seja, a resolubilidade sobre subconjuntos compactos. Seja M uma variedade suave e K um subconjunto compacto de M. Se P é resolúvel em K então necessariamente a condição (P) deve ser satisfeita numa vizinhança aberta de K. Além disso, se (#) "Qualquer ponto característico de P sobre K está sobre um intervalo compacto de uma curva bi-característica de Re(qp), sobre a qual q é diferente de 0, com pontos finais não característicos sobre K" então a condição (P) implica resolubilidade de P em K num sentido mais forte. Este projeto tem como objetivo o estudo da resolubilidade global de (1) quando (#) não é satisfeita, analisando separadamente dois casos: a_0(x) não identicamente nulo e a_0(x) identicamente nulo. O principal objeto de estudo deste projeto será a resolubilidade global de campos vetoriais, com ênfase nos campos genuinamente complexos. Além da resolubilidade suave, também poderá ser estudada a resolubilidade analítica e Gevrey de campos vetoriais complexos.