Mituhiro Fukuda.

Os problemas de otimização cônicas são modelos matemáticos nos quais as funções objetivas são minimizadas (ou maximizadas) e as variáveis são vetores finitos sujeitos a restrições descritas por desigualdades de funções e simultaneamente pertencentes a cones. Quando a função for linear, o problema é chamado linear e caso contrário, não linear. Estes problemas são também chamados de convexos se as funções objetivas forem funções convexas (no caso da minimização) e os conjuntos dos pontos viáveis forem convexos. Podemos citar dentre outros exemplos, os problemas de otimização linear, otimização sobre cones de segunda ordem, otimização semidefinida, etc. Na prática, estes problemas podem ser utilizados para resolver problemas nas mais diversas áreas como problemas envolvendo polinômios, problemas em redes de sensores, fluxo de energia ótima, matrizes de densidade reduzida de segunda ordem fermiônicas, problemas de sistema e controle, regressões, etc. Em particular, há um interesse crescente devido às aplicações em aprendizado em máquina. Neste projeto, iremos focar principalmente em três temas referentes à resolução computacional de problemas em otimização cônica. (i) Análise computacional dos diversos métodos de primeira ordem para problemas de otimização convexa não suaves. Existe uma discrepância nos interesses fins para estes métodos entre as áreas de otimização contínua e aprendizado em máquina. Na primeira, o interesse principal é propor métodos que garantam complexidades teóricas para se obter uma solução aproximada do problema. Na segunda, o interesse é propor métodos númericos que possam obter o melhor desempenho para problemas específicos. Portanto o objetivo do projeto é criar um novo paradigma para comparar diversos métodos existentes incluindo os métodos propostos pelo professor visitante que nunca foram implementados e subsequentemente testar em diversos problemas práticos; (ii) Extensão das condições aproximadas de Karush-Kuhn-Tucker para métodos de primeira ordem aplicados a problemas de otimização semidefinida. Estas condições que foram propostos a quase 10 anos tem sido cada vez mais citados pela sua praticidade e por exigir menos condições do que as condições de qualificação tradicionais. O objetivo do projeto referente a este tema é analizar e extender estas condições para métodos que possam resolver problemas de otimização semidefinida de larga escala; (iii) Estudo sobre métodos de subgradiente proximal para problemas de recuperação de fase. Neste último tema, existem dois objetivos: (a) Retirar algumas hipóteses e estender os resultados obtidos num trabalho recente do professor visitante no qual a reformulação é feita por diferenças de funções convexas e a solução por um método de subgradiente proximal; (b) Identificar problemas práticos, que, por exemplo, são frequentes em aprendizado em máquina, onde a reformulação do problema torna-se essencial para se obter um desempenho superior. Fato este comprovado pelo trabalho recente do professor visitante aplicado em problemas de recuperação de fase.

The main results can be summarized in two.
First, we considered the minimization of convex functions including non-differentiable functions by the accelerated (sub)gradient methods. We proposed new methods that guarantee the convergence of the generated sequences when a more practical gradient mapping norm is used for the stopping criterion and also when the convex function satisfies a certain analytic inequality. As a result, we proved that the proposed method is a nearly optimal method.
The other result is the proposal of a new method that combines the Bregman distance and the proximity method for a minimization of non-convex functions. In particular, in the analysis of the DC function, which can be expressed as the difference of two convex functions, it was shown that the sequences generated by the proposed method converge to a stationary point under certain assumptions.

In the current information society where large amount of data can be easily obtained and stored, there is a urgent need to solve large-scale convex optimization problems that can retrieve only valuable information (from that data). Very recently, the so-called accelerated (sub)gradient methods have been focused because they are easy to implement, but are very hard to understand theoretically. In this project, we analyze some properties that well-known (sub)gradient methods should satisfy in order to find some essential properties which guarantee fast convergence of these methods. And then, based on these properties, we propose a new family of (sub)gradient methods.
As a secondary theme, we proposed customized methods which work only with the function and gradient values for convex optimization problems which have special structures. We also conducted some numerical experiments to confirm their performance.

Modelagem e simulação de condução otimalizada para locomotivas híbridas em linhas com relevo íngremes. Nestas linhas férreas, é possível utilizar a diferença das altitutes para conduzir locomotivas movidas a diesel e baterias elétricas de modo a economizar combustível. O fluxo de energia pode ser estimado antecipadamente porque é uma linha férrea onde sabe-se o momento e o local de parada conforme o itinerário fixo da locomotiva de passageiros, por exemplo.

One of the most basic problems in quantum chemistry is the electronic structure calculation problem. Using the reduced-density-matrix method, we can obtain an approximate solution solving a convex problem called semidefinite programming problem. This approach is known to be very attractive both in theoretical and numerical aspects. However, its computational time is extremely slow compared to the usual methods and it cannot be used to large-scale problems. We succeed to solve the large-scale semidefinite programming problem with high accuracy using a parallel primal-dual interior-point method. This problem is considered one of the largest semidefinite programming problems solved so far.