Gabriel Cueva Candido Soares de Araújo.

Este Projeto Temático tem como objetivo estudar as propriedades gerais das soluções (existência, regularidade, continuação única, etc.) de (sistemas de) campos vetoriais complexos e sua conexão com a teoria das funções holomorfas de várias variáveis.

Propomos investigar propriedades globais de certos sistemas de equações diferenciais parciais de importância geométrica, em espaços conhecidos como estruturas tubulares, ou variedades produtos. Eles são constituídos por sistemas de campos vetoriais com simetrias que podem ser estudados via análise de Fourier. Nosso objetivo é determinar condições necessárias e/ou suficientes para sua resolubilidade e para a regularidade de suas soluções, quando o espaço ambiente é o que chamamos de grupo de Lie, que codifica simetrias extras das equações e suas soluções. Certos operadores de segunda ordem associados a tais sistemas (conhecidos como sub-Laplacianos, ou somas de quadrados de campos vetoriais) também serão investigados deste ponto de vista, uma vez que suas propriedades estão relacionadas, e também conectam os sistemas anteriores com aplicações. Serão estudados tanto a teoria geral como casos especiais concretos. Iremos abordar questões de fundamental importância para estes sistemas, como a hipoelipticidade e a resolubilidade do correspondente sistema de equações diferenciais parciais. O projeto combinará de forma única a expertise da equipe brasileira em hipoelipticidade e resolubilidade, com a expertise da equipe belga em diferentes aspectos da análise de Fourier e da teoria dos operadores pseudo-diferenciais em grupos de Lie.

Propomos investigar sistemas de EDPs lineares de primeira ordem, a coeficientes complexos, e estruturas correlatas (por exemplo: somas-de-quadrados de campos vetoriais). Mais especificamente, questões de resolubilidade e regularidade, os âmbitos local, global e semi-global; e em diversas classes de regularidade (por exemplo: suave, Gevrey, real-analítica, além de outras classes ultradiferenciáveis). Serão investigados: i) resolubilidade global (de campos vetoriais complexos, estruturas tipo tubo e somas-de-quadrados) em variedades compactas; ii) problemas locais relativos a hipoelipticidade de operadores diferenciais; iii) aproximabilidade de soluções de sistemas que vem de estruturas involutivas; iv) estudo de equações e sistemas envolvendo campos hipocomplexos. v) e temas correlatos.

O principal objetivo do projeto é fazer com que a união dos grupos de pesquisa do Estado de São Paulo e da "Masaryk University in Brno", na República Checa, leve à obtenção de resultados significativos na área da Geometria CR bem como no estudo da resolubilidade local para os operadores tangenciais de Cauchy-Riemann.