Alexandre Nolasco de Carvalho.

Projeto Temático FAPESP 2020/14075-6 Sistemas dinâmicos e seus atratores sob perturbação

Differential equations and more generally partial differential equations (PDE's) are mathematical models for many phenomena from physics, biology, economy, chemistry and many other sciences. Understanding how the solutions of differential equations behave, we may be able to predict the behavior of these phenomena in the future. Mathematical models are obtained by using empiric laws, measurements, observations, etc. After obtaining such a model, it is yet common to make simplifications, which lead to a new model for which some mathematical analysis is possible. Having this in mind, we notice that all mathematical models are approximations of what would be an ``ideal model''. Hence, it is of fundamental importance that these models enjoy some sort of ``stability under (all sort of) perturbations''.

Perhaps the most refined way to say that a model is stable under perturbation is to say that its ``attractor'' (set of asymptotic states) is ``structurally stable'' (pictorially the same, under perturbations). Our project aims to develop new ways to detect classes of differential equations and PDE's for which such stability under perturbation is observed.

Recently the coordinators together with R. Joly from (U. Grenoble) and a group of researchers from the U. Seville in Spain started to interact on a research project that had as main goal the definition of Morse-Smale non-autonomous dynamical systems which arise as a small non-autonomous perturbation of gradient autonomous Morse-Smale dynamical systems. This research project is yet in its very beginning steps but may bring important new developments to the field of dynamical systems (finite or infinite dimensional). This interaction was motivated by the fact that G. Raugel and R. Joly are experts on Morse-Smale infinite dimensional dynamical systems and A. Carvalho together with researchers from Seville-Spain have developed an approach to consider gradient structure, stable and unstable manifolds and Morse decompo

O estudo de muitos fenômenos em todos os ambitos científicos, Física, Biologia, Química, etc, e mais recentemente em outras áreas do conhecimento com características mais sociais como, a Sociologia ou a Demografia, empregam equações diferenciais tanto ordinárias (EDO) como parciais (EDP).

Um bom conhecimento do modelo permite extrair conclusões que sejam úteis nas aplicações reais. Neste sentido, quando o estudo se realiza para tempos grandes, alguns do fenômenos que se podem observar e analizar são a turbulência e o caos (e.g. em Dinâmica dos Fluídos e em Dinâmica de Populações em Biologia), a permanência ou extinção de uma ou várias espécies (em Biologia), a convergencia a valores estacionários ou pontos de equilíbrio (e.g. em problemas de termodinâmica e em Química), a determinação de padrões periódicos (e.g. não estudo de ecosistemas em Biologia, etc.)

No caso de modelos baseados em EDPs, o contexto técnico requer espaços de dimensão infinita e a obtenção de consjuntos ou famílias de conjuntos compactos que contém o comportamento assintótico desses modelos é uma redução significativa (nesses espaços os compactos têm interior vazio). Concretamente e partindo de um modelo de Mecânica dos Fluidos, a s equações de Navier-Stokes deram lugar, a pelo menos 03 décadas, a teoria de atratores e muitos outros objetos e propriedades associadas, como a redução a comportamento finito-dimensional, variedades inerciais, modos determinantes, etc (entre outros Temam [29] e Robinson [28] e as referencias contidas aí). Não obstante, o atrator pode ser um objeto bastante complexo e o conhecimento de sua estrutura interna é um objetivo importante para a melhor compreensão da dinâmica do modelo associado.


Na modelagem de fenômenos da natureza ou aplicados, é frequente que se façam simplificações (balanceando a acuracidade da representação do fenômeno com a possibilidade de alguma análise matemática do mesmo). Uma simplificação comum é eliminar a dependência explicita do t

Um grande número de problemas em áreas aplicadas (Física, Química, Biologia, Economia, Engenharia, etc) podem ser classificados como sistemas dinâmicos. Em geral, estes sistemas dinâmicos estão associados a equações diferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, funcionais, parciais, parciais-funcionais ou discretas. Exemplos de modelos matemáticos que podem dar origem a sistemas dinâmicos são as equações de ondas, as equações de Fitz-Hugh Nagumo, as equações de Hodgkin-Huxley, as equações para a supercondutividade de líquidos, os modelos de crescimento populacional, as equações de Navier-Stokes, as equações de reação e difusão, as equações de Kortweg-de Vries, as equações de Cahn-Hilliard, as equações de Schrödinger e as equações de Benjamin-Ono, entre muitas outras. Além dessas, os pontos de equilíbrio desses modelos serão soluções de sistemas de equações não lineares (quando o modelo é uma EDO), soluções de sistemas de equações diferenciais parciais elípticas (quando o modelo é EDP evolutiva de tipo parabólico ou hiperbólico) ou uma solução de um sistema de equações integrais quando o modelo é uma EDF retardada com retardo distribuído. Para que um modelo matemático reproduza o comportamento do sistema modelado, devemos conhecer um sistema completo de leis que regem o sistema. É claro que algumas influências que o sistema sofre são tão pequenas que podem ser esquecidas ou simplesmente negligenciadas durante a modelagem. Além disso, todos os parâmetros no modelo são determinados com algum erro. Consequentemente, os modelos encontrados são somente aproximações dos modelos ideais e erros são inevitáveis. Diante dessas considerações, é de importância fundamental mostrar que os modelos utlizados gozam de alguma estabilidade relativamente a todas as perturbações possíveis. Nos propomos a estudar a continuidade de soluções especiais e, mais geralmente, de invariantes sob perturbação (regular ou singular).

Com este projeto, o grupo pretende continuar e ampliar, de forma planejada e com suporte econômico estável, os trabalhos de colaboração conduzidos pelo mesmo nestes 14 últimos anos na especialidade Sistemas Dinâmicos Não Lineares, principalmente aqueles oriundos de equações diferenciais em espaços de dimensão infinita.

Equações diferenciais são modelos para muitos fenômenos físicos, biológicos, econômicos, químicos, etc. Se entendemos como as soluções de equações diferenciais se comportam, podemos ser capazes de predizer como um desses sistemas irá se comportar no futuro.

Para que o modelo matemático reproduza o comportamento do sistema modelado, devemos conhecer um sistema completo de leis que regem tal sistema. É claro que algumas influências que o sistema sofre são tão pequenas que podem não ser lembradas na modelagem ou simplesmente negligenciadas. Além disso, alguns (ou todos) dos parâmetros no modelo são determinados aproximadamente (com algum erro). Tudo isto fará com que o modelo matemático seja apenas uma aproximação do modelo ideal e apresentará erros e suas soluções serão apenas aproximações das soluções do sistema ideal. Com isto em mente é de fundamental importância que os modelos apresentem uma certa estabilidade por perturbações em todos os parâmetros que os determinam.

Uma maneira de dizer que modelos são estáveis sob perturbações é dizer que eles apresentam a mesma estrutura para tempos grandes. Com isto em mente, estudamos a dependência da dinâmica assintótica (atratores) relativamente a perturbações em todos os parâmetros possíveis do modelo.

Os principais tópicos de pesquisa do grupo de pesquisadores envolvidos neste projeto são os
sistemas dinâmicos em espaços de dimensão infinita. Os sistemas dinâmicos em espaços
de dimensão finita ou infinita são modelos matemáticos para um grande número de
problemas em áreas aplicadas como a física, a biologia, a economia e a engenharia
entre muitas outras. Em geral, estes sistemas dinâmicos estão associados a equações
diferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais
funcionais, equações diferenciais parciais ou equações diferenciais parciais-funcionais
mas também podem estar associados a equações discretas.
Para que um modelo matemático reproduza o comportamento do fenômeno modelado
devemos conhecer um sistema completo de leis que o regem. É claro que algumas
influências que o sistema sofre são tão pequenas que podem ser esquecidas ou
simplesmente negligenciadas durante a modelagem. Além disso, todos os parâmetros
no modelo são determinados com alguma imprecisão. Com isto, qualquer modelo matemático para um problema aplicado é somente uma aproximação do modelo ideal
e erros são inevitáveis. Este raciocínio revela a necessidade fundamental de que os
modelos matemáticos gozem de alguma estabilidade relativamente à todas as possíveis
perturbações que possam ser introduzidas. Uma maneira de abordar tal questão é estudar a estabilidade da dinâmica assintótica relativamenta a estas perturbações. Esta é a principal temática dos trabalhos de pesquisa dos pesquisadores envolvidos neste projeto.

Projeto Temático financiado pela FAPESP 1997/11323-0 intitulado ``Equações Diferenciais Não Lineares''

Este plano cobre, para uma classe ampla de problemas, as questões essenciais no estudo de equações diferenciais. Partindo da existência local (no caso de não-linearidades críticas), passando pela existência de atratores, estudando a continuidade desses atratores relativamente à perturbações de diversas naturezas no modelo e finalmente estudando os problemas para os quais a dinâmica assintótica está contida numa variedade invariante exponencialmente atratora de dimensão finita.

Há ainda questões fundamentais, de grande interesse para mim, que não estão cobertas neste projeto de pesquisa que são a caracterização das soluçÕes especiais contidas nos atratores, o grau de complexidade dos atratores e sua dimensão de Hausdorff.